Comment calculer les dimensions d’un bloc avec son nuage de points ?

Un petit article qui présente un bilan de mes réflexions depuis 2010, qu’il m’a paru utile de mettre en forme et de jeter dans le carnet « RAAN » comme une bouteille à la mer… Merci d’avance à ceux qui seront intéressés et qui voudront bien les poursuivre…

J’ai tenté de définir ce qu’est un nuage de points et ce qu’est un modèle géométrique d’un objet architectural (une simplification de la forme à l’aide de figures géométriques élémentaires) afin de montrer l’intérêt qu’il y a à passer de l’un à l’autre et de proposer des outils mathématiques qui permettent ce passage et qui pourront être intégrés sous forme de programmes dans les logiciels.

Il existe différentes méthodes de représentation du nuage de points d’un bloc par des figures géométriques élémentaires. Ainsi, en partant de l’exemple d’un tambour de fût, je présente quelques techniques traditionnelles de détermination du centre d’un cercle et de son diamètre simplement à partir de 2 ou 3 points du nuage, judicieusement sélectionnés. Dans le cas de formes plus complexes et surtout en présence d’objets architecturaux fragmentés, il est possible d’utiliser des techniques d’ajustement basées notamment sur la régression, prenant en compte un plus grand nombre de points du nuage, afin de caractériser de façon plus précise le modèle qui fournira le meilleur ajustement. Ces techniques requièrent l’utilisation de logiciels car les calculs mis en œuvre sont plus lourds.

Citer ce billet : Jean-Jacques Malmary, "Comment calculer les dimensions d’un bloc avec son nuage de points ?," sur RAAN, 26/06/2016, http://raan.hypotheses.org/805.

1. Identification géométrique d’un élément architectural

De façon générale, les formes d’un édifice et de ses parties peuvent être décrites et représentées à l’aide de figures géométriques élémentaires planes (points, lignes, plans, quadrilatères, cercles, …) ou en volume (parallélépipèdes, cylindres, sphères…). Vouloir expliquer les intentions et les conceptions des anciens est un exercice délicat et périlleux mais il ne semble pas trop déraisonnable de considérer qu’ils ont eu, plus ou moins consciemment, l’idée de formes géométriques idéales avant de les concrétiser en travaillant la matière.

Dans le cas d’un bloc d’architecture, le relevé dessiné et la description permettent entre autres d’identifier et de révéler sa forme géométrique. Avant même d’identifier la nature architectonique du bloc (un parpaing, une architrave, un tambour…), on définit sa forme géométrique (un parallélépipède rectangle, un cylindre, un tronc de cône…). Cette opération, bien qu’elle soit souvent implicite dans la pratique, est pourtant indispensable pour dessiner le bloc. Elle est assez aisée à mettre en œuvre à condition de bien connaître la géométrie euclidienne : par exemple, la forme d’un parpaing peut être considérée comme un parallélépipède rectangle (ou non) comportant six faces planes, un tambour de colonne peut être simplifié par un cylindre, un tronc de cône ou un volume de révolution lorsque le profil n’est pas rectiligne mais courbe.

2. Qu’est-ce qui est représenté par le nuage de points d’un objet architectural ?

Un nuage de points 3D est la représentation discrète de la surface d’un objet réel. Autrement dit, la réalité matérielle de la surface d’un objet est représentée par un ensemble de points épars dont la position dans l’espace est définie par leurs coordonnées x ; y ; z. C’est la différence entre la continuité du réel macroscopique et la discrétisation de cette réalité par la création d’un nuage de points.

Ce nuage de points donne à voir toutes les « imperfections » ou les irrégularités de l’objet réel. Quand on observe la vue de profil des points du nuage qui appartiennent à une face, on constate qu’ils se répartissent de part et d’autre d’une surface théoriquement plane, créant un relief présentant une certaine épaisseur. Les points d’un nuage relevés sur la face d’un bloc ne sont pas tous parfaitement placés sur le même plan. Par exemple, la surface réelle définie par le lit de pose d’un bloc n’est pas un plan parfait, pourtant, le tailleur de pierre qui l’a dressé a certainement voulu tendre vers une planéité idéale.

Fig. 1. Vue de profil d’une face d’un bloc représenté par un nuage de points.

Comme nous venons de le voir, la description et le relevé d’un élément d’architecture permettent en premier lieu de définir ses caractéristiques géométriques élémentaires. Considérer qu’une face est plane conduit à simplifier l’objet réel, il s’agit aussi de retrouver les intentions de celui qui l’a dressée. C’est le résultat d’une observation macroscopique du bloc par opposition à son observation microscopique qui donne à voir les sillons et les stries laissés par les outils et le grain de la matière. Je propose de désigner par « modèle géométrique » le résultat de la simplification de la forme de l’objet réel à l’aide de figures géométriques élémentaires. Cette simplification est rarement exprimée de façon claire mais elle est pourtant à la base du dessin d’architecture.

À la reproduction des irrégularités matérielles des faces du bloc s’ajoute le bruit issu de la construction même du nuage*. Il serait intéressant de tenter de faire la part des effets des irrégularités du bloc réel et de l’incidence des calculs photogrammétriques sur la qualité de sa représentation.

Le nuage de points issu de la photogrammétrie et la simplification géométrique d’un bloc constituent tous deux des modèles. Le premier se rapproche fortement de la réalité matérielle de la surface du bloc, le second tend à se rapprocher de sa représentation géométrique (des intentions de ceux qui l’ont fabriqué ?).

* Que cette construction soit le résultat de mesures directes sur l’objet considéré, ou, comme c’est le cas qui nous intéresse, qu’elle soit le fruit du traitement de prises de vue par un logiciel de photogrammétrie.
3. Exemple du nuage de points d’un tambour de fût lisse : comment mesurer le diamètre d’un tambour ?

Je propose ici de décrire une expérience réalisée à partir d’un nuage de points qui est le fac-similé tridimensionnel du tambour d’un fût lisse (fig. 1). C’est un cas d’école car sa forme originale est assez simple et parce qu’elle est presque entièrement conservée.

La figure 2 représente le nuage de points de ce tambour vu suivant plusieurs plans de projection (plan, élévation et isométrie). Préalablement à son étude, le nuage de points du tambour doit avoir fait l’objet d’un traitement photogrammétrique rigoureux pour que sa géométrie et ses dimensions soient fidèles à l’objet réel. Il doit de plus être orienté convenablement de telle façon que les sections horizontales qui seront produites soient parallèles aux lits, au risque de devoir raisonner sur des ellipses (voire des paraboles et des hyperboles) et non des cercles.

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Fig. 2. Nuage de points (photogrammétrie) d’un tambour de colonne (dessin : JJM)

Ce relevé a pour objectif de définir la forme géométrique de ce tambour et d’en déterminer le ou les diamètres. Est-ce un cylindre, un tronc de cône ou une volume de révolution ? Autrement dit, quels sont les diamètres inférieur et supérieur de ce tambour, sont-ils différents ? Et le fût auquel il appartient présente-t-il ou non de l’entasis ? Parmi toutes ces questions qu’un archéologue ou un architecte se pose, je me limiterai ici à la détermination du diamètre d’une section (fig. 2, section 1).

a. Utilisation des techniques traditionnelles

Les techniques traditionnelles permettant de déterminer facilement un diamètre reposent sur des mesures effectuées sur les plans de référence du tambour (lit d’attente et lit de pose) et/ou sur une de ses sections horizontales. Les mesures nécessaires peuvent être effectuées sur le bloc même (trilatération, conformateur, …) ou sur le nuage de points issu de la photogrammétrie.

Bien évidemment, la technique la plus simple et la plus rapide consiste à mesurer le diamètre directement sur le bloc, soit en déterminant « à l’oeil » la position du diamètre soit en utilisant un compas forestier ou un compas d’épaisseur. Une autre possibilité serait de mesurer la circonférence sur l’objet réel et d’en déduire le rayon (R = C / 2 PI). Mais encore faut-il disposer d’un tambour entièrement conservé.

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Fig. 3. Déterminer le ou les diamètres d’un tambour (techniques traditionnelles) (dessin : JJM)

Prendre une seule mesure peut s’avérer périlleux et tout bon « mesureur » devra s’assurer qu’il n’a pas commis d’erreur. Deux autres techniques, plus minutieuses, sont donc proposées ici :
– le tracé géométrique à « la règle et au compas » (par trois points : fig. 3, a, b, c, d),
– les formules mathématiques de la corde et de la flèche d’un arc (mesure de la corde et de la flèche d’un arc ou de la corde et de l’angle d’ouverture d’un arc : fig. 3, e).

Ces techniques sont plus que satisfaisantes quand la circonférence du tambour est presque entièrement conservée. En confrontant les résultats d’une première détermination (fig. 3, e) à ceux d’une deuxième sur trois autres points, la marge d’erreur obtenue est de 4 mm (soit environ 6/1000 en valeur relative) (fig. 3, f).

Dès lors que le tambour n’est conservé que sous la forme d’un fragment, les résultats deviennent plus hasardeux (fig. 3, g) ; la marge d’erreur est alors de 53 mm (NB : des mathématiciens ont certainement déjà défini la variation de l’erreur en fonction de la longueur de l’arc conservé).

b. Utilisation de techniques de régression ou de méthodes itératives

L’obtention de nuages de points présente alors un intérêt tout particulier dans ce cas. Le traitement des données se base sur un nombre de mesures supérieur aux 2 ou 3 proposées dans le paragraphe précédent (fig. 4). Il est important de souligner que ces nuages peuvent tout autant être obtenus par la photogrammétrie par corrélation dense que par la mesure manuelle des coordonnées de plusieurs points à l’aide d’un réglet et d’une équerre.

Fig. 4. Déterminer le ou les diamètres d’un tambour avec un nuage de points (dessin : JJM)

De visu, il est très facile de constater que certains points du nuage s’agrègent autour de la figure régulière d’un cercle. La première question qui devrait être posée est : est-ce bien un cercle ? Afin de simplifier la suite de cet exposé, plaçons-nous d’emblée dans le cas d’un cercle.
Les outils mathématiques qui permettent de réaliser un ajustement entre une fonction mathématique caractérisée par ses paramètres (centre et rayon d’un cercle, pente d’une droite …) et un ensemble de points caractérisés par les mesures de leurs coordonnées, utilisent le plus souvent la technique dite de régression.
Cette méthode mathématique vise à obtenir l’équation dont la courbe représentative se situera à la distance la plus faible de l’ensemble des points du nuage (ajustement optimal). Cette distance est quantifiée par la somme, pour tous les points du nuage, des carrés des distances entre chacun des points et son homologue sur la courbe.
Dans les cas les plus simples, il s’agit de résoudre à l’aide du calcul matriciel un système de n (nombre de points) équations dont les inconnues sont les paramètres de la fonction mathématique. C’est ainsi le cas des régressions linéaire (position d’un point et pente de la droite), ou circulaire (position du centre et rayon du cercle).

Lorsqu’il n’est pas possible de résoudre simplement le système d’équations, on peut utiliser des méthodes itératives telles que l’algorithme de Gauss-Newton : à chaque étape, on regarde de quelle manière une petite variation d’un des paramètres de la fonction mathématique fait varier la qualité de l’ajustement. Le jeu de paramètres retenu pour l’étape suivante est obtenu par extrapolation linéaire de ces petites variations. Le calcul s’arrête lorsque l’on n’arrive plus à diminuer les écarts entre points expérimentaux et points sur la courbe, on parle de convergence.

4. Proposition de développement d’un outil informatique accessible aux spécialistes d’architecture antique

Voici donc les outils qu’il me paraît utile de développer au sein d’un seul et même programme informatique. Certains existent déjà mais encore faut-il savoir les utiliser. Pour cela, une coopération avec des photogrammètres, des mathématiciens et des informaticiens s’avère indispensable. Je propose la chaîne opératoire suivante qui laisse une certaine liberté de choix à l’opérateur, considérant que la reconnaissance d’une forme  et la sélection des points liés à cette forme doit pouvoir être effectuée manuellement, de visu :
– sélectionner dans le nuage de points 3D les points d’une même section horizontale,
les projeter sur un plan (élimination des « z »),
– sélectionner dans le nuage de points 2D les points qui appartiennent à une même figure géométrique élémentaire (ici, un cercle),
– déterminer les coordonnées du centre et le rayon (l’ensemble coordonnées du centre + rayon fournit l’équation du cercle) du cercle ajusté à tous les points.
– identifier les points les plus éloignés du cercle pour pouvoir les discriminer. Cette opération consiste en la mise en évidence à l’aide des tests statistiques des « outliers » ou valeurs aberrantes. Les points hors-normes peuvent s’expliquer de différentes façons : erreurs grossières de mesure, irrégularités de taille majeure constitutives de l’état de surface du bloc, épaufrures des arêtes du bloc.
– recommencer les calculs des paramètres de la régression après élimination des points « aberrants » de façon à réduire la marge d’incertitude, autrement dit, affiner le calcul du diamètre et réduire la fourchette d’incertitude.

NB : L’hyper-précision des valeurs obtenues avec l’outil informatique n’a pas beaucoup d’intérêt. Il est important de rappeler que ce sont des objets fabriqués avec des outils manuels, la précision de taille dépasse rarement le demi-millimètre. Cet outil informatique devra avoir pour résultats des valeurs qui sont pertinentes pour les architectes et les archéologues (une longueur, une hauteur, un diamètre, …). L’expression de ces valeurs dépendra de l’échelle d’observation (échelle d’un territoire : km, m, échelle d’un site archéologique : m, échelle d’un édifice : cm, échelle d’un bloc : cm ou mm) et des ordres de grandeur de la réalité d’une chose faite avec des outils manuels.

Souvenons-nous que le résultat d’un calcul ne doit pas être écrit avec plus de chiffres significatifs que la plus mauvaise des mesures utilisées pour faire ce calcul. Ainsi une valeur calculée de 29,6294038 m fournie par le logiciel pourra être exprimée selon plusieurs modalités, par exemple : 29,6 m ou 29,60 m < L < 29,66 m ou 29,63 m ± 3 cm.

5. Les potentialités de cet outil

Je suis convaincu que l’application de ces outils mathématiques est susceptible de résoudre de nombreux problèmes pratiques, notamment pour les mesures faites sur des fragments.

La détermination du diamètre du cercle présentée précédemment est un exemple parmi d’autres : ces outils pourront être appliqués à toutes les autres figures géométriques. Il sera alors envisageable d’identifier des formes plus complexes : par exemple, pour définir l’entasis d’un fût, a-t-on tracé une parabole, un arc ou une ellipse ? Comment la figure ainsi déterminée a-t-elle pu être construite avec des outils mathématiques connus dans l’antiquité (exemple : les scamilli impares de Vitruve) ?
En allant plus loin, cette technique pourrait servir à modéliser les blocs, à réduire leurs formes à des figures géométriques élémentaires en employant les figures planes ainsi obtenues (fig. 4, 5 et 6). Les résultats en 2D ou en 3D de cette méthode permettront de proposer une restauration ou une restitution (recours à un modèle géométrique) de la forme originale du bloc.

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Fig. 5. Nuage de points d’un bloc (dessin : JJM).

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Fig. 6. Technique de régression planaire appliquée au lit d’attente du bloc (dessin : JJM).

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Fig. 7. Technique de régression appliquée à toutes les faces du bloc : du nuage de points à son modèle géométrique (dessin : JJM).

Réciproquement, la représentation par la technique de régression planaire d’une face d’un bloc devrait permettre de caractériser mathématiquement le plan de projection parallèle à cette face (fig. 8).

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Fig. 8. Définition des plans de projection parallèles aux faces du modèle du bloc (dessin : JJM).

Dans le cadre de cette piste de recherche, une attention toute particulière sera portée sur l’utilisation d’un langage compréhensible par tous les spécialistes d’architecture antique, langage emprunté à la fois au vocabulaire de la géométrie euclidienne et à celui du vocabulaire académique de l’architecture. L’objectif de ce travail n’est pas de produire une énième grille d’analyse sur les objets architecturaux mais de proposer un outil supplémentaire permettant d’enrichir l’étude de l’architecture proprement dite.


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